古戈尔 一支庞大的外星舰队
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果戈理(一支庞大的外星舰队)
实际上,我们不明白这些数字的真正含义。
【资料图】
——戴维斯·托克曼
道格拉斯·亚当斯在经典的《银河系漫游指南》中讲了一个故事——一支庞大的外星舰队前来攻击地球,结果他们发现自己在规模上犯了一个致命的错误。一降落在公园,就被一只小狗吃掉了。
这个故事简直爆笑,同时也让我们对尺度有了新的认识和思考。
刚开始学自然数的孩子,往往喜欢比谁说的要大。
孩子们学习100以内的数字。如果一个说“我有99个XXX”,另一个说“我有100个XXX”。
当他们学到几千、几百、几十亿的时候,他们会认为一万、一亿是非常大的数字。
后来,当他们对位置系统一无所知时,他们可能会说:1后面跟着100个零。......
1后面有100个零,是个随便的数字。事实上,有一个学名叫做googol。这个数字的来源有典故。
1938年,数学家爱德华·卡斯纳让他9岁的侄子米尔顿说出一个难以置信的大数字。米尔顿随后回答称其为果戈理,并将其定义为1后跟100个零。
这个数字的指数形式是10100。
事实上,这个数字已经相当大了,超过了宇宙中已知粒子的数量。但是这个9岁的男孩显然不满意,他提出了一个新的数字,叫做googolplex。起初,这个孩子想把这个数字定义为“写零和写手痛”,但后来他决定将其标准化,定义为:1后跟古根海姆零。
从这个小小的变化中,我们可以看到弥尔顿的数学天赋。你要知道“写零到写酸手”只是一个模糊的名词,在数学上非常不严谨。就像很多孩子会弹出数字“无穷大”,而无穷大在他们口中只是一个模糊的概念。但是弥尔顿后来对googolplex的精确定义反映了数学的严谨性。
古戈尔足以覆盖整个宇宙。Gugor的0在1之后有多大?
数学上定义的古戈尔普勒克斯实际上是以下数字:
然而,这个数字远远超出了我们人类的想象。
让我们看两个“较小”的数字:
我们知道44=256是一个我们可以感知的数字。后一个数字好像不大,会是44的多少倍?事实是:
看,这实际上是一个比果戈理大得多的数字!
很多人都知道下面这个古老的故事。
一位国王打算奖赏一位大臣,说他想要的任何东西都能满足他。部长说没有特别要求,只是第一格棋一粒米,第二格棋两粒米,第三格棋四粒米,第四格棋八粒米,以此类推,直到满64格米。
这个要求似乎并不苛刻,国王欣然同意了。然而,国王显然不知道指数增长的力量。
这个故事很好地说明了指数增长是多么可怕。我们上面举的例子比指数增长更恐怖,叫做“超级力量”。
2021年的第一天,有人在群里讨论时间尺度:在地质钟上,人类意识只在午夜的最后一刻出现。
其实这句话暗示的是时间尺度的问题。我们认为几千年甚至几百万年都很长,但与地球的演化相比,只是一瞬间。一位严谨的小组朋友还为此专门画了一个地质钟。
事实上,不仅是时间,还有距离、温度、声音和光谱,人类所能感知的尺度都比宇宙小得多。虽然人类知道世界的基准不是人类的尺度,但他们希望是。对此,我写过一篇《人类尺度vs宇宙尺度》,感兴趣的朋友可以看看。
说到这里,我突然想起以前读过一本非常好的关于宇宙尺度的书,叫做《宇宙的尺度:从无穷大到无穷小》。这本书从上帝的角度介绍了人类感知之外的数字、大小、光、声、热和时间。无论儿童还是成人,都能感受到宇宙和自然的美好和浩瀚,但人类真的连大海里的一粒沙子都算不上。
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