(资料图片)

什么是约数（彻底理解世界上最美丽的等式）

在我们开始探索欧拉恒等式之前，让我们先来回顾一段令人惊叹的历史。

恋爱数字

大约在公元前500年，希腊人认为有些数字比其他数字更重要。特别是，他们知道两个具有非凡性质的数字。这两个数字是220和284。

在解释为什么这些数字如此有趣之前，我们需要知道什么是真约数。n的真约数，是一个比n小的自然数，它能被n整除。例如，6的真约数是1、2、3。220和228有趣的原因是220的真约数之和是284，284的真约数之和是220。这种关系叫做亲和关系，数字叫做亲和数字。

希腊人认为这是一个非常重要的关系，但他们找不到更多这样的数字。这种状态持续了大约一千年，直到伊本库拉在9世纪又发现了两对。那时候，数学中心已经从欧洲和埃及转移到阿拉伯世界，并在那里快速发展了近500年。

伊本库拉的发现并没有传到欧洲，那里只知道一对（220，228）。直到1636年费马发现了一对。他找到的数字是17296和18416。

在这一时期，两个数学巨人之间爆发了一场数学内战。即皮埃尔·德·费马和勒内·笛卡尔。费马找到了一对友好的数字，因此笛卡儿必须另找一个。在1638年，他发现这两个数字分别是9,363,584和9,437,056。那时是没有计算器的。

费马和笛卡尔发现的那两对和伊本库拉发现的是一样的。因此，2000年来，数学天才们只发现了3对亲和数。

欧拉决定试一试，然后发现了58对亲和数！这太疯狂了。当然，欧拉不是靠蛮力试错去找的。欧拉找到了一种依靠除数和函数的特性以及一些天才的见解的方法。

你会问，是否有无穷多对亲和数？没有人知道……这又是数学的一个谜题。

最美的恒等式

欧拉在很多方面在数学家中都很有名，但有一种美比其他的更闪耀，它被称为数学中最美丽的等式。我将用几种不同的方式来解释这个等式，这样读者就会有一种直观的理解和数学上的理解。

首先，我们来陈述一下。

欧拉恒等式（1748）：

那么为什么这种关系如此美妙呢？

首先，正如威廉·邓纳姆所说：

如果你想做加法你需要0，如果你想做乘法你需要1，如果你想做微积分你需要e，如果你想做几何你需要π，如果你想做复分析你需要i，这是数字的梦之队，它们都在这个方程里。

在解释等式之前，我们先来定义一下这些数字。

0和1

0当然是一个数字，但它是一个非常特殊的数字。它是负数和正数之间的极限，它是唯一不能被除的数，最重要的是，它是加法恒等式，也就是说x + 0 = x对于所有的x都成立。

这可能看起来微不足道，但实际上，这是一个大问题，因为它是数学中群论的重要组成部分。群论是关于对称的数学，但那是另一篇文章。同样，数字1当然是乘法恒等式。

π的定义

π在数学中到处都是。从数论到概率论和三角学，但这是为什么呢？

圆与对称性和周期性都有关系，这些现象在自然界和数学中很多不同的事件中都有发生。从热辐射到随机运动和电磁波的振动，再到统计分布的密度等等。

π的定义当然是一个圆的周长除以它的直径，但它却不能被写成整数的分数形式。这就是我们所说的无理数。

e的定义

那么e呢？这个数字有点难定义，但我们会尝试一下。

首先，e是一个约为2.7182818的数字，是欧拉本人在1748年首次发现的。她是无理数。欧拉发现了如何计算它：

欧拉在1748年就是这么写的。如果你学过微积分，那么你可能会记得微分算子有一个恒等式，也就是函数：

即具有下列性质：

这是非常重要的，因为，首先，它使我们能够解微分方程。由于几乎所有的物理定律和系统都可以用微分方程来描述，所以微分方程在物理、生物、数学等科学中都非常重要。

因此，你可以将数字e描述为指数函数的底数，即给定时刻的变化率等于它在那一刻的值。

i的定义

那么数字i是多少？很多年来，人们不接受“i”这个数字，但话说回来，当负数第一次出现时，他们也不接受负数，所以我想这是一个成熟的问题。

在欧拉时代，人们对这个数字知之甚少。现在，对i和使用它的函数的研究被称为复分析，当然，欧拉从一开始就引领了这一奇异的新领域。

就像数学中的许多其他东西一样，我可以有很多不同的定义。有些比较正式。我们将坚持使用最简单的定义。i是具有以下属性的数字：

关键词： 什么是约数 彻底理解世界上最美丽的等式